Exponencial

La progresión exponencial

La leyenda del trigo y el ajedrez.

Cuanta una leyenda una historia curiosa sobre el inventor del ajedrez. Según esta leyenda, el inventor del ajedrez, llamado Sissa o Sessa, enseñó su invento a un rey de un país de Oriente. El rey estaba pasando un mal momento y el nuevo juego le ayudó a sobreponerse. En compensación, el rey le dijo a Sissa que le daría o que pidiesa, ya que era muy rico. Sissa le pidió una cantidad de trigo que sería de la siguiente manera: 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, el doble (2 granos) por la segunda casilla del tablero, el doble (4 granos) por la tercera casilla, y así sucesivamente.

El rey accedió y pidió a los matemáticos del reino que calcularan la cantidad de trigo a dar a Sissa. Al día siguiente, el matemático mayor del reino le indicó al rey que no había suficiente trigo en todo el reino para cubrir la petición, incluso, no hay suficiente trigo en todo el mundo. Sería necesario plantar de trigo todo el planeta, incluso mares.

La cantidad

¿Cuál es la cantidad necessaria?.

La cantidad total necesaria es:

T = 1 + 2 + 4 + 8 + ....(64 veces)

T = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ... 2⁶³

T = 2⁶⁴ - 1 = 18₃446.744₂073.709₁551.615

Es decir, más de 18 trillones.

Los contagios

Supongamos que el día 1, una persona tiene una enfermedad contagiosa.
Al día siguiente, esa persona contagia a otras dos. Al día siguiente, esas dos personas contagian a 4, y así sucesivamente. ¿Cuánto tiempo pasaría hasta que un país de unos 50 millones estuviera completamente contagiado?.

Puedes pensar que meses, o incluso años. Vamos a calcularlo:

T = 1 + 2 + 4 + 8 + ...
T = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + ..
T = 2ⁿ - 1

con n= 26 días:
T = 67.108.864.

Es decir, en tan sólo 26 días.


Esto sería con una tasa de 2 en el contagio. Esta tasa se denomina R₀ la tasa puede ser peor, si cada persona contagia a 3 o más, o mejor, si cada persona contagia de media a menos de 2.

Lo importante en estos casos, es intentar reducir esa tasa de contagio a lo mínimo posible. Cuando esa tasa baja de 1, la enfermedad está controlada.

Referencias 

- Wikipedia: Problema del trigo y el tablero de ajedrez.

- Matemáticas cercanas: La leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo